domingo, 16 de noviembre de 2014

ESPERANZA, VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR

Propiedades de la Esperanza Matemática:

La esperanza matemática consta de las siguientes propiedades principales:

    1) El valor que se espera de la constante es igual a la misma:

          E(C) = c  Siendo C una constante, entonces tenemos que:

Ejemplo:
                  C = {4}
           
                  E(C) = 4

    2) Sí X e Y son variables aleatorias, encontramos que:

          E (X + Y) = E(X) + E(Y) Lo que indica la propiedad es que: el valor que se espera de la suma de las dos variables aleatorias, sea igual a la sumatoria de sus valores esperados.

Ejemplo:


X
1
2
3
4
F(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8


Y
1
2
F(X=x)
1/2
1/2


E(X) = 5   ,    E(Y)=7
E(X+Y)= 5+7 = 12

    3)  Si “ C  ” es una constante y “ X  ” una variable, encontramos que:
              E(C . x) = C . E(x)             Lo que india la propiedad es que: El valor que se espera del resultado de una constante por una variable aleatoria ( E(C.x) es igual al resultado de la constante por el valor que se espera de la variable ( C . E(x) ) .

Ejemplo:

C= {4}  ,  E(x) = 6                 Siendo una Constante y una variable aleatoria, entonces tenemos     que:

E(C . x) = C . E(x)
E(4 . 6) = 4 . 6
24 = 24

4) Sí A y B son variables aleatorias independientes, encontramos que:

E( A . B ) = E(A) . E(B) 

Ejemplo:

E(A) = 5  ,  E(B) = 7             Siendo A y B variables aleatorias independientes, entonces tenemos que:

E( A . B ) = E(A) . E(B)
E( A . B ) = 5 . 7
E( A . B ) = 35

Propiedades de la varianza:

La Varianza tiene las siguientes propiedades:

1)      Var (C) = 0.            Lo que indica la propiedad es que: La varianza de una constante es CERO.  La varianza mide la dispersión, claro está que una constante no puede tener dispersión,  por lo tanto la varianza es cero.

Ejemplo:

C=  5                    Siendo C una constante, entonces tenemos que:
Var (C) = 0

2)      Var(C.X) = C2 . Var(X)       Lo que indica la propiedad es que: La varianza del producto de una constante multiplicada por una variable, será igual a la constante elevada al cuadrado multiplicada por la varianza de la variable.

Ejemplo:

C= 7  ,  X= 5                 Siendo C una constante y X una variable aleatoria, entonces tenemos que:

Var(C.X) = C2 . Var(X)
Var(7 . 5) = 72 . Var(5)
Var(35) = 49 . 5
245  =  245

3)      Sí  X y Z son variables aleatorias cualquiera:

Var ( X + Z ) = Var (X) + Var (Z) + 2 Cov ( X, Y ) 

Teniendo en cuenta que la covarianza (Cov) de dos variables independientes es igual a CERO. Sí  X y Z son dos variables independientes Cov ( X, Y ) = 0 por lo tanto:

Var ( X + Z ) = Var (X) + Var (Z)

La varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de varianzas.

Ejemplo:

Var(X)= 6
Var(Z)= 10

Var ( X + Z ) = Var (X) + Var (Z)
Var ( X + Z ) = 6 + 10
Var ( X + Z ) = 16

Desviación Típica

1) La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
Ejemplo:

X=
6 + 6 + 6 + 6
 = 6


4


Ơ2=
                                                        (6-6)2 + (6-6)2 + (6-6)2 + (6-6)2
= 0

4

Ơ=
√0

Ơ=
0

2)Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.

Ejemplo: 

X=
(8+4)
 = 6


2


  Ơ2=
                                    (8-6)2 + (4-6)2
 = 4

2

Ơ=
√4

Ơ=
2









Le sumamos +2 a todas las variables

X=
(10+6)
 = 8


2


  Ơ2=
                                     (10-8)2 + (6-8)2
 = 4

2

Ơ=
√4

Ơ=
2


3) Si todos los valores de la variable se multiplican por un número ladesviación típica queda multiplicada por dicho número.

Ejemplo: 

X=
(4+8)
 = 6


2


  Ơ2=
                                     (4-6)2 + (8-6)2
 = 4

2

Ơ=
√4

Ơ=
2







Le multiplicamos x2 a todas las variables

X=
4(2)+8(2)
 = 6(2)


2


  Ơ2=
                                               
[4-(6.2)2] + [8-(6.2)2]


= 40

2

Ơ=
√40

Ơ=
6 = 3.2








4) Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Ejemplo:

X1=
(7+9)
 = 8

2




  Ơ21=
(7-8)2 + (9-8)2
 = 1

2

Ơ=
√1

Ơ=
1




X2=
(5+3)
 = 4


2


  Ơ22=
(5-4)2 + (3-4)2
 = 1

2

Ơ=
√1

Ơ=
1







Desviación estándar total

   
     

Ơ2=
(4 +1) / 2  =  2.5    

               Ơ = √2.5

                    Ơ = 1.581